Makalah Matematika Peminatan Perihal Identitas Trigonometri

rayhan fadillah       Makalah Matematika    Comment   

MAKALAH

Matematika Peminatan

“Identitas Trigonometri”

D

I

S

U

S

U

N

OLEH:

Nama : .......................................

Kelas : ................

Guru Pembimbing : .......................................

SMA/SMK ...........................................

TAHUN AJARAN ..............

Pengertian Identitas Trigonometri

Lengkap Dengan Rumusnya

A.    PENGERTIAN TRIGONOMETRI

Trigonometri yaitu bab dari ilmu matematika yang mempelajari perihal korelasi antara sisi dan sudut dari suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari korelasi tersebut. Trigonometri juga identik dengan fungsi trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya itu merupakan cara untuk memilih suatu sisi sebuah segitiga dan sudut yang terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga. Aplikasi ilmu trigonometri dipakai dalam bidang astronomi, geografi, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak lagi.

Pada umumnya, sebuah segitiga siku-siku terdiri dari 3 sisi (sisi miring, sisi samping, dan sisi depan). Begitu juga untuk segitiga bentuk lainnya, hanya saja, jenis sisi pada bentuk segitiga lainnya tidak sanggup dibedakan. Jumlah sudut dalam segitiga yaitu 180 derajat. Hal ini terbukti kalau ketiga sudut segitiga disusun bersampingan akan membentuk sebuah garis lurus, ibarat terlihat pada gambar di bawah.

Kita tahu bahwa besar sudut pada garis lurus yaitu 180 derajat. Sehingga, terbukti bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat.

B.    PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

Sifat-sifat persamaan trigonometri sederhana untuk sinus, cosinus, dan tangen yaitu sebagai berikut :

1. Bentuk sin x = sin p

Bentuk di atas mempunyai dua macam penyelesaian, yaitu :

2. Bentuk cos x = cos p

Bentuk di atas mempunyai dua macam penyelesaian, yaitu :

3. Bentuk tan x = cos p

Bentuk di atas mempunyai penyelesaian sebagai berikut :

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sin 2x = ½ kalau 0^∘ ≤ x ≤ 360^∘ !

Penyelesaian :

Persamaan (1)

·                     Jika k = 0 maka x₁ = 15^o

·                     Jika k = 1 maka x₂ = 195^o

Persamaan (2)

·                     Jika k = 0 maka x₃ = 75^o

·                     Jika k = 1 maka x₄ = 255^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya yaitu {15^o, 75^o, 195^o, 255^o}.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari tan (4x – π) = 1 !

Penyelesaian :

·                     Jika k = 0 maka x₁ = 56,25^∘

·                     Jika k = 1 maka x₂ = 101,25^∘

·                     Jika k = 2 maka x₃ = 146,25^∘

·                     Jika k = 3 maka x₄ = 191,25^∘

·                     Jika k = 4 maka x₅ = 236,25^∘

·                     Jika k = 5 maka x₆ = 281,25^∘

·                     Jika k = 6 maka x₇ = 326,25^∘

·                     Jika k = 7 maka x₈ = 371,25^∘ = 11,25^∘

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 11, 25^∘ , 56, 25^∘, 101, 25^∘ , 146, 25^∘, 191, 25^∘, 236, 25^∘, 281, 25^∘, 326, 25^∘ }.

C.    PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Lingkaran dengan sentra O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada bulat dan sudut dibuat oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r2 = x2 + y2 sehingga diperoleh perbandingan trigonometri, yaitu antara lain sebagai berikut ini :

D.    PENGERTIAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri merupakan suatu korelasi atau kalimat terbuka yang di dalamnya memuat fungsi-fungsi trigonometri. Dimana bernilai benar untuk tiap penggantian variabel dengan konstan anggota domain fungsi. Kebenaran akan suatu korelasi atau kalimat terbuka itu sendiri yaitu identitas yang harus dibuktikan kebenarannya. Ada beberapa pilihan yang sanggup dipakai sebagai pembuktikan identitas. Adapun pilihan tersebut ialah memakai rumus-rumus atau identitas-identitas yang sudah dibuktikan kebenarannya.

Fungsi trigonometri itu sendiri terdiri atas sin, cos, tan, cosec, sec, serta cotan. Fungsi trigonometri ini sanggup dipakai untuk memilih sisi sebuah segitiga ataupun sudut yang dibuat dari dua buah sisi yang ada di dalam sebuah segitiga. Aplikasi ilmu trigonometri ini diterapkan dalam bidang astronomi, ekonomi, medical, teknik, geografi, elektronik, dan masih banyak lainnya.

Sebuah segitiga siku-siku secara umum terdiri dari 3 sisi, yakni sisi miring, sisi samping, dan sisi depan. Hal ini juga untuk segitiga dengan bentuk lainnya. Hanya saja, jenis sisi yang ada di bentuk segitiga lainnya tak sanggup dibedakan. Diketahui juga bahwa jumlah sudut yang ada di dalam segitiga sebesar 180 derajat. Hal ini terbukti apabila ketiga sudut segitiga disusun secara bersampingan, maka akan membentuk sebuah garis lurus. Seperti yang kita semua ketahui, besar sudut yang ada pada garis lurus ialah 180 derajat. Dengan begitu, terbukti bahwa jumlah ketiga sudut yang ada di dalam sebuah segitiga sebesar 180 derajat.

E.     MEMBUKTIKAN KEBENARAN IDENTITAS

Kebenaran suatu relasi atau kalimat terbuka merupakan identitas perlu dibuktikan kebenarannya. Ada tiga pilihan pembuktian identitas, yaitu memakai rumus-rumus atau identitas-identitas yang telah dibuktikan kebenarannya dengan cara subsitusi trigonometri dan manipulasi aljabar dengan tujuan:

1.        Mengubah bentuk pada ruas kiri identitas menjadi bentuk ibarat pada ruas kanan, atau

2.        Mengubah bentuk pada ruas kanan identitas menjadi bentuk ibarat pada ruas kiri.

Satu hal yang harus diingat dalam menunjukan identitas trigonometri yaitu kita harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah. Kita dilarang memakai sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitas ibarat sifat penjumlahan kedua ruas persamaan. Karena, untuk melaksanakan hal tersebut, kita harus menganggap bahwa kedua ruas sudah sama, yang merupakan suatu hal yang akan kita buktikan. Intinya, kita dilarang memperlakukan problem sebagai suatu persamaan.Sebagaicontohkitaambil dua identitas Pythagoras terakhir sanggup diturunkan dari identitas sebelumnya, yaitu cos² θ + sin² θ = 1, dengan membagi kedua ruasnya secara berturut-turut dengan cos² θ dan sin² θ. Sebagai contoh, dengan membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan cos² θ, kita mendapatkan

Untuk menurunkan identitas Pythagoras terakhir, kita harus membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan sin² θ untuk mendapat 1 + cot² θ = csc² θ.

PETUNJUK UNTUK MEMBUKTIKAN IDENTITAS

1. Biasanya akan lebih gampang kalau kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
2. Carilah bentuk yang sanggup disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
3. Perhatikan operasi-operasi aljabar, ibarat penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin sanggup menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal sanggup membimbing kita kepada bentuk yang sanggup disederhanakan.
4. Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut sanggup membantu.
5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

Selain petunjuk-petunjuk di atas, cara terbaik untuk menjadi mahir dalam menunjukan identitas trigonometri yaitu dengan banyak latihan. Semakin banyak identitas trigonometri yang telah kita buktikan, maka kita akan semakin andal dan percaya diri dalam menunjukan identitas trigonometri lainnya. Kita dilarang takut untuk berhenti kemudian memulai kembali kalau langkah-langkah kita menemui jalan buntu. Sebagian besar identitas trigonometri sanggup dibuktikan dengan memakai banyak sekali macam pembuktian. Beberapa pembuktian mungkin lebih panjang dari pembuktian yang lain.

F.     RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETERI

Rumus identitas trigonometri mempunyai pernyataan mengenai korelasi suatu fungsi dengan fungsi trigonometri yang lainnya. Misalnya saja, fungsi secan yang yaitu fungsi kebalikan dari fungsi cosinus. Hal ini juga berlaku untuk fungsi kebalikan lain. Selain fungsi kebalikan, ada juga fungsi identitas trigonometri yang menyatakan mengenai korelasi antar fungsi trigonometri. Beberapa korelasi persamaan tersebut sanggup dilihat dari rumus berikut.

Rumus tersebut yaitu rumus turunan yang didapat dengan menghubungkan suatu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri yang lainnya. Cara menunjukan kebenarannya sanggup dengan cara merubah ruas kiri semoga sama dengan ruas kanan. Selain itu, sanggup juga dengan sebaliknya. Sebenarnya, terdapat banyak fungsi identitas trigonometri. Adapun rumus identitas trigonometri lainnya ialah sebagai berikut.

Dalam sebuah segitiga siku-siku, sisi depan yaitu sisi yang ada di depan sudut. Sisi samping ada di samping sudut. Sementara sisi miring yaitu sisi yang selalu berhadapan dengan sudut sebesar 90 derajat. Oleh alasannya yaitu itu, letak sisi depan, sisi samping, serta sisi miring dipengaruhi oleh letak sudut.

Selain itu, anda juga akan mengenal istilah jembatan keledai. Istilah ini sanggup dipakai untuk mengingat persamaan fungsi trigonometri. Jembatan keledai ini berbunyi sindemi cossami tandesa. Sindemi berarti sinus depan miring, cossami kependekan dari cosinus samping miring, sementara tandesa ialah tangen depan samping.

G.      CONTOH SOAL IDENTITAS TRIGONOMETRI BERSERTA PENYELESAIANNYA

Berikut ini beberapa pola identitas trigonometri berserta penyelesaiannya untuk masing-masing identitas trigonometri yang diberikan:

Soal 1

Soal 2

Soal 3

Soal 4

Soal 5

Soal 6

Soal 7

Soal 8

Soal 9

Soal 10